Обратная матрица через миноры. Нахождение обратной матрицы: три алгоритма и примеры

Для решения системы линейных уравнений (3) относительно x 1 воспользуемся методом Гаусса .

Аналогичным образом решаются остальные системы линейных уравнений (2).

Наконец группа векторов столбцов x 1 , x 2 , ..., x n образует обратную матрицу A -1 .

Заметим, что один раз находя матрицы перестановок P 1 ,P 2 , ... , P n-1 и матрицы исключений М 1 , М 2 , ..., M n-1 (см. страницу Метод исключения Гаусса) и построив матрицу

M=M n-1 P n-1 ...M 2 P 2 M 1 P 1 ,

систему (2) можно преобразовать к виду

  • MAx 1 =Me 1 ,
  • MAx 2 =Me 2 ,
  • ......
  • MAx n =Me n .

Отсюда находятся x 1 ,x 2 , ..., x n , при разных правых частях Me 1 , Me 2 , ..., Me n .

При вычислении обратной матрицы более удобно с правой стороны исходной матрицы добавить единичную матрицу и применять метод Гаусса в прямом и обратном направлениях.

Рассмотрим это на примере.

Пример вычисления обратной матрицы

Пусть требуется найти обратную матрицу A -1 для данной матрицы A :

Запишем с правой стороны единичную матрицу:

Выбираем ведущий элемент "4" (т.к. он самый большой по модулю) и переставляем местами первую и третью строки:

Применяем Гауссово исключение для первого столбца:

Переставляем вторую и третью строки и применяем Гауссово исключение для второго столбца.

Обратная матрица — это матрица A −1 , при умножении на которую заданная начальная матрица A даёт в итоге единичную матрицу E :

АA −1 = A −1 A = E.

Метод обратной матрицы.

Метод обратной матрицы - это один из самых распространенных методов решения матриц и применяется для решения систем линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в случаях, когда число неизвестных соответствует количеству уравнений.

Пусть есть система n линейных уравнений с n неизвестными:

Такую систему можно записать как матричное уравнение A* X = B ,

где
- матрица системы,

- столбец неизвестных,

- столбец свободных коэффициентов.

Из выведенного матричного уравнения выражаем X путем умножения обеих частей матричного уравнения слева на A -1 , в результате чего имеем:

A -1 * A * X = A -1 * B

Зная, что A -1 * A = E , тогда E * X = A -1 * B либо X = A -1 * B .

Следующим шагом определяется обратная матрица A -1 и умножается на столбец свободных членов B .

Обратная матрица к матрице A существует лишь тогда, когда det A ≠ 0 . Ввиду этого при решении СЛАУ методом обратной матрицы первым делом находится det A . Если det A ≠ 0 , то у системы есть только одно решение, которое можно получить методом обратной матрицы, если же det A = 0 , то такая система методом обратной матрицы не решается.

Решение обратной матрицы.

Последовательность действий для решения обратной матрицы :

  1. Получаем определитель матрицы A . Если определитель больше нуля, решаем обратную матрицы дальше, если он равен нулю, то здесь обратную матрицу найти не удастся.
  2. Находим транспонированную матрицу AT .
  3. Ищем алгебраические дополнения, после чего заменяем все элементы матрицы их алгебраическими дополнениями.
  4. Собираем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы полученной матрицы делим на определитель исходно заданной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно исходной.

Приведенный ниже алгоритм решения обратной матрицы по сути такой же, как и приведенный выше, разница только в нескольких шагах: первым делом определяем алгебраические дополнения, а уже после этого вычисляем союзную матрицу C .

  1. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  2. Понять, квадратная ли данная матрица. В случае отрицательного ответа становится ясно, что обратной матрицы для нее не может быть.
  3. Вычисляем алгебраические дополнения.
  4. Составляем союзную (взаимную, присоединённую) матрицу C .
  5. Составляем обратную матрицу из алгебраических дополнений: все элементы присоединённой матрицы C делим на определитель начальной матрицы. Итоговая матрица будет искомой обратной матрицей относительно заданной.
  6. Проверяем выполненную работу: умножаем начальную и полученную матрицы, результатом должна стать единичная матрица.

Это лучше всего делать с помощью присоединённой матрицы.

Теорема: Если к квадратной матрице с правой стороны приписать единичную матрицу такого же порядка и при помощи элементарных преобразований над строками преобразовать начальную матрицу, стоящую слева, в единичную, то полученная с правой стороны будет обратной к начальной.

Пример нахождения обратной матрицы.

Задание. Для матрицы найти обратную методом присоединенной матрицы .

Решение. Дописываем к заданной матрице А справа единичную матрицу 2го порядка:

Из 1й строки вычитаем 2ю:

От второй строки отнимаем 2 первых:

Как правило, обратные операции используются для упрощения сложных алгебраических выражений. Например, если в задаче присутствует операция деления на дробь, можно заменить ее операцией умножения на обратную дробь, что является обратной операцией. Более того, матрицы делить нельзя, поэтому нужно умножать на обратную матрицу. Вычислять матрицу, обратную матрице размером 3х3, довольно утомительно, но нужно уметь делать это вручную. Также обратную величину можно найти с помощью хорошего графического калькулятора.

Шаги

С помощью присоединенной матрицы

Транспонируйте исходную матрицу. Транспонирование – это замена строк на столбцы относительно главной диагонали матрицы, то есть нужно поменять местами элементы (i,j) и (j,i). При этом элементы главной диагонали (начинается в верхнем левом углу и заканчивается в нижнем правом углу) не меняются.

  • Чтобы поменять строки на столбцы, запишите элементы первой строки в первом столбце, элементы второй строки во втором столбце, а элементы третьей строки в третьем столбце. Порядок изменения положения элементов показан на рисунке, на котором соответствующие элементы обведены цветными кружками.

  • Найдите определить каждой матрицы размером 2х2. Каждый элемент любой матрицы, включая транспонированную, связан с соответствующей матрицей 2х2. Чтобы найти матрицу 2х2, которая соответствует определенному элементу, зачеркните строку и столбец, в которых находится данный элемент, то есть нужно зачеркнуть пять элементов исходной матрицы 3х3. Незачеркнутыми останутся четыре элемента, которые являются элементами соответствующей матрицы 2х2.

    • Например, чтобы найти матрицу 2х2 для элемента, который расположен на пересечении второй строки и первого столбца, зачеркните пять элементов, которые находятся во второй строке и первом столбце. Оставшиеся четыре элемента являются элементами соответствующей матрицы 2х2.
    • Найдите определитель каждой матрицы 2х2. Для этого произведение элементов второстепенной диагонали вычтите из произведения элементов главной диагонали (смотрите рисунок).
    • Подробную информацию о матрицах 2х2, соответствующих определенным элементам матрицы 3х3, можно найти в интернете.

  • Создайте матрицу кофакторов. Результаты, полученные ранее, запишите в виде новой матрицы кофакторов. Для этого найденный определитель каждой матрицы 2х2 напишите там, где располагался соответствующий элемент матрицы 3х3. Например, если рассматривается матрица 2х2 для элемента (1,1), ее определитель запишите в позиции (1,1). Затем поменяйте знаки соответствующих элементов согласно определенной схеме, которая показана на рисунке.

    • Схема изменения знаков: знак первого элемента первой строки не меняется; знак второго элемента первой строки меняется на противоположный; знак третьего элемента первой строки не меняется и так далее построчно. Обратите внимание, что знаки «+» и «-», которые показаны на схеме (смотрите рисунок), не свидетельствуют о том, что соответствующий элемент будет положительным или отрицательным. В данном случае знак «+» говорит о том, что знак элемента не меняется, а знак «-» свидетельствует об изменении знака элемента.
    • Подробную информацию о матрицах кофакторов можно найти в интернете.
    • Так вы найдете присоединенную матрицу исходной матрицы. Иногда ее называют комплексно-сопряженной матрицей. Такая матрица обозначается как adj(M).

  • Разделите каждый элемент присоединенной матрицы на определитель. Определитель матрицы М был вычислен в самом начале, чтобы проверить, что обратная матрица существует. Теперь разделите каждый элемент присоединенной матрицы на этот определитель. Результат каждой операции деления запишите там, где находится соответствующий элемент. Так вы найдете матрицу, обратную исходной.

    • Определитель матрицы, которая показана на рисунке, равен 1. Таким образом, здесь присоединенная матрица является обратной матрицей (потому что при делении любого числа на 1 оно не меняется).
    • В некоторых источниках операция деления заменяется операцией умножения на 1/det(М). При этом конечный результат не меняется.

  • Запишите обратную матрицу. Запишите элементы, расположенные на правой половине большой матрицы, в виде отдельной матрицы, которая является обратной матрицей.

    С помощью калькулятора

      Выберите калькулятор, который работает с матрицами. С помощью простых калькуляторов нельзя найти обратную матрицу, но это можно сделать на хорошем графическом калькуляторе, таком как Texas Instruments TI-83 или TI-86.

      Введите исходную матрицу в память калькулятора. Для этого нажмите кнопку Matrix (Матрица), если она есть. В случае калькулятора Texas Instruments, возможно, понадобится нажать кнопки 2 nd и Matrix.

      Выберите меню Edit (Редактирование). Сделайте это с помощью кнопок со стрелками или соответствующей функциональной кнопки, которая находится в верхней части клавиатуры калькулятора (расположение кнопки зависит от модели калькулятора).

      Введите обозначение матрицы. Большинство графических калькуляторов умеет работать с 3-10 матрицами, которые можно обозначить буквами А-J. Как правило, просто выберите [A], чтобы обозначить исходную матрицу. Затем нажмите кнопку Enter (Ввод).

      Введите размер матрицы. В данной статье говорится о матрицах 3х3. Но графические калькуляторы умеют работать с матрицами больших размеров. Введите количество строк, нажмите кнопку Enter, затем введите количество столбцов и еще раз нажмите кнопку Enter.

      Введите каждый элемент матрицы. На экране калькулятора отобразится матрица. Если ранее в калькулятор уже вводилась матрица, она появится на экране. Курсор выделит первый элемент матрицы. Введите значение первого элемента и нажмите Enter. Курсор автоматически переместится к следующему элементу матрицы.

    Для обратной матрицы существует уместная аналогия с обратным числом. Для каждого числа a , не равного нулю, существует такое число b , что произведение a и b равно единице: ab = 1 . Число b называется обратным для числа b . Например, для числа 7 обратным является число 1/7, так как 7*1/7=1.

    Обратной матрицей , которую требуется отыскать для данной квадратной матрицы А , называется такая матрица

    произведение на которую матрицы А справа является единичной матрицей, т.е,
    . (1)

    Единичной матрицей называется диагональная матрица, у которой все диагональные элементы равны единице.

    Нахождение обратной матрицы - задача, которая чаще решается двумя методами:

    • методом алгебраических дополнений, при котором требуется находить определители и транспонировать матрицы;
    • методом исключения неизвестных Гаусса, при котором требуется производить элементарные преобразования матриц (складывать строки, умножать строки на одно и то же число и т. д.).

    Для особо любознательных существуют и другие методы, например, метод линейных преобразований. На этом уроке разберём три упомянутых метода и алгоритмы нахождения обратной матрицы этими методами.

    Теорема. Для каждой неособенной (невырожденной, несингулярной) квадратной матрицы можно найти обратную матрицу, и притом только одну. Для особенной (вырожденной, сингулярной) квадратной матрицы обратная матрица не существует.

    Квадратная матрица называется неособенной (или невырожденной , несингулярной ), если её определитель не равен нулю, и особенной (или вырожденной , сингулярной ), если её определитель равен нулю.

    Обратная матрица может быть найдена только для квадратной матрицы. Естественно, обратная матрица также будет квадратной и того же порядка, что и данная матрица. Матрица, для которой может быть найдена обратная матрица, называется обратимой матрицей.

    Нахождение обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

    Первый шаг для нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса - приписать к матрице A единичную матрицу того же порядка, отделив их вертикальной чертой. Мы получим сдвоенную матрицу . Умножим обе части этой матрицы на , тогда получим

    ,

    Алгоритм нахождения обратной матрицы методом исключения неизвестных Гаусса

    1. К матрице A приписать единичную матрицу того же порядка.

    2. Полученную сдвоенную матрицу преобразовать так, чтобы в левой её части получилась единичная матрица, тогда в правой части на месте единичной матрицы автоматически получится обратная матрица. Матрица A в левой части преобразуется в единичную матрицу путём элементарных преобразований матрицы.

    2. Если в процессе преобразования матрицы A в единичную матрицу в какой-либо строке или в каком-либо столбце окажутся только нули, то определитель матрицы равен нулю, и, следовательно, матрица A будет вырожденной, и она не имеет обратной матрицы. В этом случае дальнейшее нахождение обратной матрицы прекращается.

    Пример 2. Для матрицы

    найти обратную матрицу.

    и будем её преобразовывать, так чтобы в левой части получилась единичная матрица. Начинаем преобразования.

    Умножим первую строку левой и правой матрицы на (-3) и сложим её со второй строкой, а затем умножим первую строку на (-4) и сложим её с третьей строкой, тогда получим

    .

    Чтобы по возможности не было дробных чисел при последующих преобразованиях, создадим предварительно единицу во второй строке в левой части сдвоенной матрицы. Для этого умножим вторую строку на 2 и вычтем из неё третью строку, тогда получим

    .

    Сложим первую строку со второй, а затем умножим вторую строку на (-9) и сложим её с третьей строкой. Тогда получим

    .

    Разделим третью строку на 8, тогда

    .

    Умножим третью строку на 2 и сложим её со второй строкой. Получается:

    .

    Переставим местами вторую и третью строку, тогда окончательно получим:

    .

    Видим, что в левой части получилась единичная матрица, следовательно, в правой части получилась обратная матрица . Таким образом:

    .

    Можно проверить правильность вычислений, умножим исходную матрицу на найденную обратную матрицу:

    В результате должна получиться обратная матрица.

    онлайн калькулятора для нахождения обратной матрицы .

    Пример 3. Для матрицы

    найти обратную матрицу.

    Решение. Составляем сдвоенную матрицу

    и будем её преобразовывать.

    Первую строку умножаем на 3, а вторую на 2, и вычитаем из второй, а затем первую строку умножаем на 5, а третью на 2 и вычитаем из третьей строки, тогда получим

    .

    Первую строку умножаем на 2 и складываем её со второй, а затем из третьей строки вычитаем вторую, тогда получим

    .

    Видим, что в третьей строке в левой части все элементы получились равными нулю. Следовательно, матрица вырожденная и обратной матрицы не имеет. Дальнейшее нахождение обратной марицы прекращаем.

    Проверить решение можно с помощью

    Продолжаем разговор о действиях с матрицами. А именно – в ходе изучения данной лекции вы научитесь находить обратную матрицу. Научитесь. Даже если с математикой туго.

    Что такое обратная матрица? Здесь можно провести аналогию с обратными числами: рассмотрим, например, оптимистичное число 5 и обратное ему число . Произведение данных чисел равно единице: . С матрицами всё похоже! Произведение матрицы на обратную ей матрицу равно – единичной матрице , которая является матричным аналогом числовой единицы. Однако обо всём по порядку – сначала решим важный практический вопрос, а именно, научимся эту самую обратную матрицу находить.

    Что необходимо знать и уметь для нахождения обратной матрицы? Вы должны уметь решать определители . Вы должны понимать, что такое матрица и уметь выполнять некоторые действия с ними.

    Существует два основных метода нахождения обратной матрицы:
    с помощью алгебраических дополнений и с помощью элементарных преобразований .

    Сегодня мы изучим первый, более простой способ.

    Начнем с самого ужасного и непонятного. Рассмотрим квадратную матрицу . Обратную матрицу можно найти по следующей формуле :

    Где – определитель матрицы , – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

    Понятие обратной матрицы существует только для квадратных матриц , матриц «два на два», «три на три» и т.д.

    Обозначения : Как вы уже, наверное, заметили, обратная матрица обозначается надстрочным индексом

    Начнем с простейшего случая – матрицы «два на два». Чаще всего, конечно, требуется «три на три», но, тем не менее, настоятельно рекомендую изучить более простое задание, для того чтобы усвоить общий принцип решения.

    Пример:

    Найти обратную матрицу для матрицы

    Решаем. Последовательность действий удобно разложить по пунктам.

    1) Сначала находим определитель матрицы .

    Если с пониманием сего действа плоховато, ознакомьтесь с материалом Как вычислить определитель?

    Важно! В том случае, если определитель матрицы равен НУЛЮ – обратной матрицы НЕ СУЩЕСТВУЕТ .

    В рассматриваемом примере, как выяснилось, , а значит, всё в порядке.

    2) Находим матрицу миноров .

    Для решения нашей задачи не обязательно знать, что такое минор, однако, желательно ознакомиться со статьей Как вычислить определитель .

    Матрица миноров имеет такие же размеры, как и матрица , то есть в данном случае .
    Дело за малым, осталось найти четыре числа и поставить их вместо звездочек.

    Возвращаемся к нашей матрице
    Сначала рассмотрим левый верхний элемент:

    Как найти его минор ?
    А делается это так: МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

    Оставшееся число и является минором данного элемента , которое записываем в нашу матрицу миноров:

    Рассматриваем следующий элемент матрицы :

    Мысленно вычеркиваем строку и столбец, в котором стоит данный элемент:

    То, что осталось, и есть минор данного элемента, который записываем в нашу матрицу:

    Аналогично рассматриваем элементы второй строки и находим их миноры:


    Готово.

    Это просто. В матрице миноров нужно ПОМЕНЯТЬ ЗНАКИ у двух чисел:

    Именно у этих чисел, которые я обвел в кружок!

    – матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

    И всего-то лишь…

    4) Находим транспонированную матрицу алгебраических дополнений .

    – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

    5) Ответ .

    Вспоминаем нашу формулу
    Всё найдено!

    Таким образом, обратная матрица:

    Ответ лучше оставить в таком виде. НЕ НУЖНО делить каждый элемент матрицы на 2, так как получатся дробные числа. Более подробно данный нюанс рассмотрен в той же статье Действия с матрицами .

    Как проверить решение?

    Необходимо выполнить матричное умножение либо

    Проверка:

    Получена уже упомянутая единичная матрица – это матрица с единицами на главной диагонали и нулями в остальных местах.

    Таким образом, обратная матрица найдена правильно.

    Если провести действие , то в результате тоже получится единичная матрица. Это один из немногих случаев, когда умножение матриц перестановочно, более подробную информацию можно найти в статье Свойства операций над матрицами. Матричные выражения . Также заметьте, что в ходе проверки константа (дробь) выносится вперёд и обрабатывается в самом конце – после матричного умножения. Это стандартный приём.

    Переходим к более распространенному на практике случаю – матрице «три на три»:

    Пример:

    Найти обратную матрицу для матрицы

    Алгоритм точно такой же, как и для случая «два на два».

    Обратную матрицу найдем по формуле: , где – транспонированная матрица алгебраических дополнений соответствующих элементов матрицы .

    1) Находим определитель матрицы .


    Здесь определитель раскрыт по первой строке .

    Также не забываем, что , а значит, всё нормально – обратная матрица существует .

    2) Находим матрицу миноров .

    Матрица миноров имеет размерность «три на три» , и нам нужно найти девять чисел.

    Я подробно рассмотрю парочку миноров:

    Рассмотрим следующий элемент матрицы:

    МЫСЛЕННО вычеркиваем строку и столбец, в котором находится данный элемент:

    Оставшиеся четыре числа записываем в определитель «два на два»

    Этот определитель «два на два» и является минором данного элемента . Его нужно вычислить:


    Всё, минор найден, записываем его в нашу матрицу миноров:

    Как вы, наверное, догадались, необходимо вычислить девять определителей «два на два». Процесс, конечно, муторный, но случай не самый тяжелый, бывает хуже.

    Ну и для закрепления – нахождение еще одного минора в картинках:

    Остальные миноры попробуйте вычислить самостоятельно.

    Окончательный результат:
    – матрица миноров соответствующих элементов матрицы .

    То, что все миноры получились отрицательными – чистая случайность.

    3) Находим матрицу алгебраических дополнений .

    В матрице миноров необходимо СМЕНИТЬ ЗНАКИ строго у следующих элементов:

    В данном случае:

    Нахождение обратной матрицы для матрицы «четыре на четыре» не рассматриваем, так как такое задание может дать только преподаватель-садист (чтобы студент вычислил один определитель «четыре на четыре» и 16 определителей «три на три»). В моей практике встретился только один такой случай, и заказчик контрольной работы заплатил за мои мучения довольно дорого =).

    В ряде учебников, методичек можно встретить несколько другой подход к нахождению обратной матрицы, однако я рекомендую пользоваться именно вышеизложенным алгоритмом решения. Почему? Потому что вероятность запутаться в вычислениях и знаках – гораздо меньше.