Квадратные уравнения изучают в 8 классе, поэтому ничего сложного здесь нет. Умение решать их совершенно необходимо.
Квадратное уравнение — это уравнение вида ax 2 + bx + c = 0, где коэффициенты a , b и c — произвольные числа, причем a ≠ 0.
Прежде, чем изучать конкретные методы решения, заметим, что все квадратные уравнения можно условно разделить на три класса:
- Не имеют корней;
- Имеют ровно один корень;
- Имеют два различных корня.
В этом состоит важное отличие квадратных уравнений от линейных, где корень всегда существует и единственен. Как определить, сколько корней имеет уравнение? Для этого существует замечательная вещь — дискриминант .
Дискриминант
Пусть дано квадратное уравнение ax 2 + bx + c = 0. Тогда дискриминант — это просто число D = b 2 − 4ac .
Эту формулу надо знать наизусть. Откуда она берется — сейчас неважно. Важно другое: по знаку дискриминанта можно определить, сколько корней имеет квадратное уравнение. А именно:
- Если D < 0, корней нет;
- Если D = 0, есть ровно один корень;
- Если D > 0, корней будет два.
Обратите внимание: дискриминант указывает на количество корней, а вовсе не на их знаки, как почему-то многие считают. Взгляните на примеры — и сами все поймете:
Задача. Сколько корней имеют квадратные уравнения:
- x 2 − 8x + 12 = 0;
- 5x 2 + 3x + 7 = 0;
- x 2 − 6x + 9 = 0.
Выпишем коэффициенты для первого уравнения и найдем дискриминант:
a
= 1, b
= −8, c
= 12;
D
= (−8) 2 − 4 · 1 · 12 = 64 − 48 = 16
Итак, дискриминант положительный, поэтому уравнение имеет два различных корня. Аналогично разбираем второе уравнение:
a
= 5; b
= 3; c
= 7;
D
= 3 2 − 4 · 5 · 7 = 9 − 140 = −131.
Дискриминант отрицательный, корней нет. Осталось последнее уравнение:
a
= 1; b
= −6; c
= 9;
D
= (−6) 2 − 4 · 1 · 9 = 36 − 36 = 0.
Дискриминант равен нулю — корень будет один.
Обратите внимание, что для каждого уравнения были выписаны коэффициенты. Да, это долго, да, это нудно — зато вы не перепутаете коэффициенты и не допустите глупых ошибок. Выбирайте сами: скорость или качество.
Кстати, если «набить руку», через некоторое время уже не потребуется выписывать все коэффициенты. Такие операции вы будете выполнять в голове. Большинство людей начинают делать так где-то после 50-70 решенных уравнений — в общем, не так и много.
Корни квадратного уравнения
Теперь перейдем, собственно, к решению. Если дискриминант D > 0, корни можно найти по формулам:
Основная формула корней квадратного уравнения
Когда D = 0, можно использовать любую из этих формул — получится одно и то же число, которое и будет ответом. Наконец, если D < 0, корней нет — ничего считать не надо.
- x 2 − 2x − 3 = 0;
- 15 − 2x − x 2 = 0;
- x 2 + 12x + 36 = 0.
Первое уравнение:
x
2 − 2x
− 3 = 0 ⇒ a
= 1; b
= −2; c
= −3;
D
= (−2) 2 − 4 · 1 · (−3) = 16.
D > 0 ⇒ уравнение имеет два корня. Найдем их:
Второе уравнение:
15 − 2x
− x
2 = 0 ⇒ a
= −1; b
= −2; c
= 15;
D
= (−2) 2 − 4 · (−1) · 15 = 64.
D > 0 ⇒ уравнение снова имеет два корня. Найдем их
\[\begin{align} & {{x}_{1}}=\frac{2+\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=-5; \\ & {{x}_{2}}=\frac{2-\sqrt{64}}{2\cdot \left(-1 \right)}=3. \\ \end{align}\]
Наконец, третье уравнение:
x
2 + 12x
+ 36 = 0 ⇒ a = 1; b = 12; c = 36;
D = 12 2 − 4 · 1 · 36 = 0.
D = 0 ⇒ уравнение имеет один корень. Можно использовать любую формулу. Например, первую:
Как видно из примеров, все очень просто. Если знать формулы и уметь считать, проблем не будет. Чаще всего ошибки возникают при подстановке в формулу отрицательных коэффициентов. Здесь опять же поможет прием, описанный выше: смотрите на формулу буквально, расписывайте каждый шаг — и очень скоро избавитесь от ошибок.
Неполные квадратные уравнения
Бывает, что квадратное уравнение несколько отличается от того, что дано в определении. Например:
- x 2 + 9x = 0;
- x 2 − 16 = 0.
Несложно заметить, что в этих уравнениях отсутствует одно из слагаемых. Такие квадратные уравнения решаются даже легче, чем стандартные: в них даже не потребуется считать дискриминант. Итак, введем новое понятие:
Уравнение ax 2 + bx + c = 0 называется неполным квадратным уравнением, если b = 0 или c = 0, т.е. коэффициент при переменной x или свободный элемент равен нулю.
Разумеется, возможен совсем тяжелый случай, когда оба этих коэффициента равны нулю: b = c = 0. В этом случае уравнение принимает вид ax 2 = 0. Очевидно, такое уравнение имеет единственный корень: x = 0.
Рассмотрим остальные случаи. Пусть b = 0, тогда получим неполное квадратное уравнение вида ax 2 + c = 0. Немного преобразуем его:
Поскольку арифметический квадратный корень существует только из неотрицательного числа, последнее равенство имеет смысл исключительно при (−c /a ) ≥ 0. Вывод:
- Если в неполном квадратном уравнении вида ax 2 + c = 0 выполнено неравенство (−c /a ) ≥ 0, корней будет два. Формула дана выше;
- Если же (−c /a ) < 0, корней нет.
Как видите, дискриминант не потребовался — в неполных квадратных уравнениях вообще нет сложных вычислений. На самом деле даже необязательно помнить неравенство (−c /a ) ≥ 0. Достаточно выразить величину x 2 и посмотреть, что стоит с другой стороны от знака равенства. Если там положительное число — корней будет два. Если отрицательное — корней не будет вообще.
Теперь разберемся с уравнениями вида ax 2 + bx = 0, в которых свободный элемент равен нулю. Тут все просто: корней всегда будет два. Достаточно разложить многочлен на множители:
Вынесение общего множителя за скобкуПроизведение равно нулю, когда хотя бы один из множителей равен нулю. Отсюда находятся корни. В заключение разберем несколько таких уравнений:
Задача. Решить квадратные уравнения:
- x 2 − 7x = 0;
- 5x 2 + 30 = 0;
- 4x 2 − 9 = 0.
x 2 − 7x = 0 ⇒ x · (x − 7) = 0 ⇒ x 1 = 0; x 2 = −(−7)/1 = 7.
5x 2 + 30 = 0 ⇒ 5x 2 = −30 ⇒ x 2 = −6. Корней нет, т.к. квадрат не может быть равен отрицательному числу.
4x 2 − 9 = 0 ⇒ 4x 2 = 9 ⇒ x 2 = 9/4 ⇒ x 1 = 3/2 = 1,5; x 2 = −1,5.
{ (3 * x – 1) = 0;
-(3 * x – 1) = 0;
Отсюда получаем, что имеется одно уравнение 3 * x – 1 = 0.
Получили линейное уравнение в виде 3 * x – 1 = 0
Для того, чтобы решить уравнение, определим какие свойства имеет уравнение:
- Уравнение является линейным, и записывается в виде a * x + b = 0, где a и b - любые числа;
- При a = b = 0, уравнение имеет бесконечное множество решений;
- Если a = 0, b ≠ 0, уравнение не имеет решения;
- Если a ≠ 0, b = 0, уравнение имеет решение: x = 0;
- Если, а и b - любые числа, кроме 0, то корень находится по следующей формуле x = - b/a.
Отсюда получаем, что a = 3, b = - 1, значит, уравнение имеет один корень.
Проверка решения уравнения
Подставим найденное значение х = 1/3 в изначальное выражение |3 * x - 1| = 0, тогда получим:
|3 * 1/3 - 1| = 0;
Для того, чтобы найти значение выражения, сначала в порядке очереди вычисляем умножение или деление, потом проводятся действия сложения или вычитания. То есть получаем:
Значит, х = 1/3 является корнем уравнения |3 * x - 1| = 0.
|3 * x - 1| = 0;
Модуль раскрывается со знаком плюс и минус. Получим 2 уравнения:
1) 3 * x - 1 = 0;
Известные значения переносим на одну сторону, а неизвестные на другую сторону. При переносе значений, их знаки меняются на противоположный знак. То есть получаем:
3 * x = 0 + 1;
3 * x = 1;
x = 1/3;
2) - (3 * x - 1) = 0;
Раскрываем скобки. Так как, перед скобками стоит знак минус, то при ее раскрытии, знаки значений меняются на противоположный знак. То есть получаем:
- 3 * x + 1 = 0;
- 3 * x = - 1;
x = - 1/(- 3);
x = 1/3;
Ответ: х = 1/3.
I. Линейные уравнения
II. Квадратные уравнения
ax 2 + bx + c = 0, a ≠ 0, иначе уравнение становится линейным
Корни квадратного уравнения можно вычислять различными способами, например:
Мы хорошо умеем решать квадратные уравнения. Многие уравнения более высоких степеней можно привести к квадратным.
III. Уравнения, приводимые к квадратным.
замена переменной: а) биквадратное уравнение ax 2n + bx n + c = 0, a ≠ 0, n ≥ 2
2) симметрическое уравнение 3 степени – уравнение вида
3) симметрическое уравнение 4 степени – уравнение вида
ax 4 + bx 3 + cx 2 + bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c b a или
ax 4 + bx 3 + cx 2 – bx + a = 0, a ≠ 0, коэффициенты a b c (–b) a
Т.к. x = 0 не является корнем уравнения, то возможно деление обеих частей уравнения на x 2 , тогда получаем: .
Произведя замену решаем квадратное уравнение a (t 2 – 2) + bt + c = 0
Например, решим уравнение x 4 – 2x 3 – x 2 – 2x + 1 = 0, делим обе части на x 2 ,
, после замены получаем уравнение t 2 – 2t – 3 = 0
– уравнение не имеет корней.
4) Уравнение вида (x – a )(x – b )(x – c )(x – d ) = Ax 2 , коэффициенты ab = cd
Например, (x + 2 )(x +3 )(x + 8 )(x + 12 ) = 4x 2 . Перемножив 1–4 и 2–3 скобки, получим (x 2 + 14x + 24)(x 2 +11x + 24) = 4x 2 , разделим обе части уравнения на x 2 , получим:
Имеем (t + 14)(t + 11) = 4.
5) Однородное уравнение 2 степени – уравнение вида Р(х,у) = 0, где Р(х,у) – многочлен, каждое слагаемое которого имеет степень 2.
Ответ: -2; -0,5; 0
IV. Все приведенные уравнения узнаваемы и типичны, а как быть с уравнениями произвольного вида?
Пусть дан многочлен P n (x ) = a n x n + a n-1 x n-1 + ...+a 1 x + a 0 , где a n ≠ 0
Рассмотрим метод понижения степени уравнения.
Известно, что, если коэффициенты a являются целыми числами и a n = 1 , то целые корни уравнения P n (x ) = 0 находятся среди делителей свободного члена a 0 . Например, x 4 + 2x 3 – 2x 2 – 6x + 5 = 0, делителями числа 5 являются числа 5; –5; 1; –1. Тогда P 4 (1) = 0, т.е. x = 1 является корнем уравнения. Понизим степень уравнения P 4 (x ) = 0 с помощью деления “уголком” многочлена на множитель х –1, получаем
P 4 (x ) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 + x – 5).
Аналогично, P 3 (1) = 0, тогда P 4 (x ) = (x – 1)(x – 1)(x 2 + 4x +5), т.е. уравнение P 4 (x) = 0 имеет корни x 1 = x 2 = 1. Покажем более короткое решение этого уравнения (с помощью схемы Горнера).
1 | 2 | –2 | –6 | 5 | |
1 | 1 | 3 | 1 | –5 | 0 |
1 | 1 | 4 | 5 | 0 |
значит, x 1 = 1 значит, x 2 = 1.
Итак, (x – 1) 2 (x 2 + 4x + 5) = 0
Что мы делали? Понижали степень уравнения.
V. Рассмотрим симметрические уравнения 3 и 5 степени.
а) ax 3 + bx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
б) ax 5 + bx 4 + cx 3 + cx 2 + bx + a = 0, очевидно, x = –1 корень уравнения, далее понижаем степень уравнения до двух.
Например, покажем решение уравнения 2x 5 + 3x 4 – 5x 3 – 5x 2 + 3x + = 0
2 | 3 | –5 | –5 | 3 | 2 | |
–1 | 2 | 1 | –6 | 1 | 2 | 0 |
1 | 2 | 3 | –3 | –2 | 0 | |
1 | 2 | 5 | 2 | 0 |
x = –1
Получаем (x – 1) 2 (x + 1)(2x 2 + 5x + 2) = 0. Значит, корни уравнения: 1; 1; –1; –2; –0,5.
VI. Приведем список различных уравнений для решения в классе и дома.
Предлагаю читателю самому решить уравнения 1–7 и получить ответы…
Рассмотрим уравнение x^2=a, где в качестве а, может выступать произвольное число. Существует три случая решения этого уравнения, в зависимости от значения, которое принимает число а (а0).
Рассмотрим каждый из случаев в отдельности.
Примеры различных случаев уравнения x^2=a
x^2=a, при a<0
Так как квадрат любого действительного числа не может быть отрицательным числом, уравнение x^2=a, при a
x^2=a, при a=0
В данном случае уравнение имеет один корень. Этим корнем является число 0. Так как уравнение можно переписать в виде х*х=0, то еще иногда говорят, что данное уравнение имеет два корня, которые равны между собой и равны 0.
x^2=a, при a>0
В этом случае уравнение x^2=a, при aРешается оно следующим образом. Сначала переносим а в левую часть.
Из определения квадратного корня следует, что a можно записать в следующем виде: a=(√a)^2. Тогда уравнение можно переписать следующим образом:
x^2 - (√a)^2 = 0.
В левой части видим формулу разности квадратов, разложим её.
(x+√a)*(x-√a)=0;
Произведение двух скобок равно нулю, если хотя бы одна из них равна нулю. Следовательно,
Отсюда, x1=√a x2=-√a.
Данное решение можно проверить и построив график.
Для примера сделаем это для уравнения x^2 = 4.
Для этого необходимо построить два графика y=x^2 и y=4. И посмотреть координаты х их точек пересечения. Корни должны получиться 2 и -2. На рисунке все наглядно видно.
Нужна помощь в учебе?
Предыдущая тема:
Предлагаем вам удобный бесплатный онлайн калькулятор для решения квадратных уравнений.
Вы сможете быстро получить и разобраться, как они решаются, на понятных примерах.
Чтобы произвести решение квадратного уравнения онлайн
, вначале приведите уравнение к общему виду:
ax 2 + bx + c = 0
Заполните соответственно поля формы:
Как решить квадратное уравнение
Как решить квадратное уравнение: | Виды корней: |
1.
Привести квадратное уравнение к общему виду: Общий вид Аx 2 +Bx+C=0 Пример: 3х - 2х 2 +1=-1 Приводим к -2х 2 +3х+2=0 2.
Находим дискриминант D. 3.
Находим корни уравнения. |
1.
Действительные корни. Причем. x1 не равно x2 Ситуация возникает, когда D>0 и A не равно 0. 2.
Действительные корни совпадают. x1 равно x2 3.
Два комплексных корня. x1=d+ei, x2=d-ei, где i=-(1) 1/2 5.
Уравнение имеет бесчисленное множество решений. 6.
Уравнение решений не имеет. |
Для закрепления алгоритма, вот еще несколько показательных примеров решений квадратных уравнений .
Пример 1. Решение обычного квадратного уравнения с разными действительными корнями.
x 2 + 3x -10 = 0
В этом уравнении
А=1, B = 3, С=-10
D=B 2 -4*A*C = 9-4*1*(-10) = 9+40 = 49
квадратный корень будем обозначать, как число 1/2 !
x1=(-В+D 1/2)/2А = (-3+7)/2 = 2
x2=(-В-D 1/2)/2А = (-3-7)/2 = -5
Для проверки подставим:
(x-2)*(x+5) = x2 -2x +5x – 10 = x2 + 3x -10
Пример 2. Решение квадратного уравнения с совпадением действительных корней.
х 2 – 8x + 16 = 0
А=1, B = -8, С=16
D = k 2 – AC = 16 – 16 = 0
X = -k/A = 4
Подставим
(x-4)*(x-4) = (x-4)2 = X 2 – 8x + 16
Пример 3. Решение квадратного уравнения с комплексными корнями.
13х 2 – 4x + 1 = 0
А=1, B = -4, С=9
D = b 2 – 4AC = 16 – 4*13*1 = 16 - 52 = -36
Дискриминант отрицательный – корни комплексные.
X1=(-В+D 1/2)/2А = (4+6i)/(2*13) = 2/13+3i/13
x2=(-В-D 1/2)/2А = (4-6i)/(2*13) = 2/13-3i/13
, где I – это квадратный корень из -1
Вот собственно все возможные случаи решения квадратных уравнений.
Надеемся, что наш онлайн калькулятор
окажется весьма полезным для вас.
Если материал был полезен, вы можете